Реферат: Рейтинговая работа по математике "История появления комплексных чисел" Московский университет им. С.Ю.Витте (2020)

Оглавление

Введение. 3

1. Развитие понятия числа. 4

2. История возникновения комплексного числа. 5

3 Применение комплексных чисел в математике и науке. 6

Заключение. 9

Список литературы. 10

Введение

В практике решения задач по математике с помощью уравнений важное место занимают задачи, решаемые с помощью квадратных и кубических уравнений. Решение многих задач из динамики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом и они имеют вид . Указанные уравнения не имеют решения на области действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый физический смысл.

В настоящие время комплексные числа широко используются для математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в гидроаэродинамике, механике, электротехнике, атомной физике и др.) всем вышесказанным обуславливается актуальность выбранной темы.

Цель реферата – изучить историю появления комплексных чисел.

Задачи реферата:

- познакомиться с историей возникновения комплексного числа;

- рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием комплексного числа и его формами представления;

- рассмотреть области применения комплексных чисел в различных разделах математики и физики.

Объект исследования: комплексные числа.

Проблема: невозможность решения квадратных уравнений на поле действительных чисел. Почему возникает новый вид чисел?

Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел.

Методы исследования:

1. Развитие понятия числа

для счета предметов использовались натуральные числа.

Натуральные числа (N) возникли в глубокой древности, когда возникла необходимость счёта.

Операции, которые можно проводить с натуральными числами: сложение, умножение, не всегда выполнимы операции вычитания, деления.

Целые числа (Z), так же возникли в глубокой древности. А в математический обиход их ввели Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).

Операции, которые можно проводить с отрицательными числами: сложение, вычитание, умножение; обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком, но нельзя извлекать из под корня [1].

Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных чисел. Рациональные числа (Q). Впервые в Европе термин дроби употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). А десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске.

Операции, которые можно проводить с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, но не во всех случаях можно извлекать из под корня.

2. История возникновения комплексного числа

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел [4]. В частности для решения кубических уравнений вида х³+px+q=0 используются формулы, содержащие квадратные и кубические корни. Путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравненийне имеющая решений на множестве действительных чисел, имеет решения вида х=5± , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что  *  = -а .

Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже "софистически отрицательными". В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа  (мнимой единицы). Этот символ вошёл во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа'' так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

3 Применение комплексных чисел в математике и науке

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. Действительные числа – это только часть множества комплексных чисел. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность. Новыми методами пополнилось решение уже известных задач, стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа – теория функции комплексного переменного.

Так же уже в нашем столетии комплексные числа и комплексные функции (функции, у которых и значениями аргумента, и значениями функ-ции являются комплексные числа) успешно применялись русскими и советскими математиками и механиками Н. Е. Жуковским (1847 — 1921), С. А. Чаплыгиным (1869— 1942), М. В. Келдышем (1911 — 1978) и другими в аэродинамике. Советские математики Г. В. Колосов (1867—1936) и Н. И. Мусхелишвили (1891 — 1976) впервые стали применять комплексные функции в теории упругости (то есть по существу к расчетам различных конструкций на прочность). С применением комплексных переменных в теоретической физике связаны исследования советских ученых Н. Н. Боголюбова (род. 1909) и В. С. Владимирова (род. 1923).

Заключение

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия и в настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам надо расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

Думаем, что мы добились поставленной цели. Познакомились с историей развития числа, понятием комплексного числа, формами записи комплексных чисел, с действиями над комплексными числами. Показали, как с помощью комплексных чисел можно вывести некоторые формулы тригонометрии.