Оглавление
Введение. 3
1. Понятие аксиоматического метода. 4
2. Формальный аксиоматический метод. 5
3. Возникновение аксиоматического метода. 6
4. Игрушечный пример аксиоматической теории. 7
Заключение. 10
Список использованных источников. 11
Введение
Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки.
Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е., когда наука принимает характер аксиоматической теории.
Более того, развитие науки в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.
Целью реферата является изучение сущности аксиоматического метода.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Понятие аксиоматического метода
Аксиоматический метод – это способ построения и систематизации научного знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые утверждения выбираются в качестве исходных положений (аксиом), а все остальные утверждения (теоремы) этой теории доказывают (или выводят), исходя лишь из аксиом с помощью чисто логических рассуждений [1].
И аксиомы, и теоремы – это высказывания (утверждения) на некотором языке о некоторых понятиях (или терминах). Поэтому, прежде чем формулировать аксиомы и доказывать теоремы, мы должны договориться, о каких именно понятиях пойдет речь в излагаемой теории. Понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними.
Одни понятия можно определять через другие. В какой-то момент необходимо остановиться и объявить некоторые понятия неопределяемыми (или исходными), и через них определять все остальные понятия (определяемые или производные), о которых говорится в данной теории.
Итак, чтобы пользоваться аксиоматическим методом построения теории, нужно:
1) выбрать исходные понятия;
2) сформулировать аксиомы («исходные» утверждения) об этих понятиях;
3) выводить новые утверждения (теоремы) о них, пользуясь логикой и аксиомами [2].
2. Формальный аксиоматический метод
И утверждения, и доказательства можно записывать в естественном языке (скажем, русском), пользуясь «психологическим» понятием доказательства, и тогда с помощью этого метода будет строиться (неформальная) аксиоматическая теория. Но недостатком естественного языка является то, что слова не всегда имеют ясный смысл [3].
Можно же строить теорию иначе (повысив уровень строгости «на две ступеньки»):
- формализация языка: фиксировать точный (формальный) язык, на котором будут записываться все утверждения излагаемой теории;
- формализация логики: точно задать, что называется доказательством (одного утверждения из других), то есть строго задать, что такое упоминавшееся выше «чисто логическое рассуждение». В результате мы сможем абсолютно точно сказать, является ли некоторый данный нам текст доказательством или не является. Заметим, что при этом абсолютно точный смысл автоматически приобретет и понятие «теорема» данной теории — это такое утверждение, которое получается из данных аксиом путем доказательства.
Теория, построенная таким образом, будет называться формальной аксиоматической теорией, а сам описанный способ построения теории – формальным аксиоматическим методом [3].
3. Возникновение аксиоматического метода
Зародился аксиоматический метод еще в Древней Греции. В знаменитом сочинении Евклида «Начала» (3 век до н.э.) были систематизированы основные известные в то время геометрические сведения. Главная же заслуга Евклида в том, что в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются исходные положения – аксиомы («очевидные истины, не требующие доказательства»), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения – теоремы [4].
Среди аксиом Евклида была так называемая «аксиома о параллельных прямых» (она же — «пятый постулат Евклида»). Сегодня она формулируется так:5 «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной» (у Евклида была несколько иная формулировка, но эквивалентная этой, как показали более поздние ученые). По своему характеру эта аксиома сильно отличалась от остальных его аксиом, была сложнее их. Многие математики в течение почти двух тысяч лет предпринимали попытки доказать этот постулат, исходя из остальных аксиом. И лишь в 19 веке было окончательно выяснено (и в чем состоял выдающийся вклад русского математика Николая Лобачевского), что данную аксиому нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.
4. Игрушечный пример аксиоматической теории
В самом деле, если бы таких бокров было два, то они будлались бы обеими нашими куздрами, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт:
(K6) Для каждых двух различных бокров найдётся такой третий бокр, что не существует куздры, будлающей всех этих трёх бокров.
Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае – бокры и куздры) и отношения между ними (в данном случае – отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае – в утверждениях (K1)–(K4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае – аксиомы куздрологии). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, то есть дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздрологии мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности – геометрия [2].
Заключение
По результатам проведённого курсового исследования по теме «Сущность аксиоматического метода» можно сделать следующие выводы.
Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид.
Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика – это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод – аксиоматический метод.
